5.7 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

5.7 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA 

Un caso particular de la superposición de ondas que viste en el tema anterior y de importancia fundamental en el estudio de las ondas sonoras, por su aplicación en la música es el de las ondas estacionarias. Estas ondas aparecen en todos los instrumentos de cuerda: guitarras, pianos, violines, etc...

Estas ondas se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio, como puedes observar en la animación que acompaña estas líneas. En ella dos ondas, una azul y otra roja, se superponen para dar lugar a la onda estacionaria dibujada en negro.

Observa que una característica de las ondas estacionarias es que hay puntos que no vibran (nodos) -indicados como puntos rojos en la animación-, que permanecen estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren.

El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos, siendo la distancia que separa dos nodos o dos vientres consecutivos igual a la mitad de la longitud de onda (λ/2) de las ondas que interfieren.

En el caso particular de las ondas estacionarias en cuerdas, puede considerarse que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda. Así, para una cuerda determinada, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental o primer armónico, y las demás son múltiplos enteros de ella y se denominan armónicos (segundo, tercero, ... y así sucesivamente). En la imagen puedes ver el armónico fundamental y sucesivos para una onda de frecuencia unidad.

Resulta sencillo encontrar la expresión matemática que describe una onda estacionaria:

Ya se ha dicho que resulta de la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en sentidos opuestos. Por simplicidad supondremos que no presentan fase inicial. Las ecuaciones de estas ondas son:

Su superposición da lugar a una nueva onda de ecuación

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica , la expresión anterior da como resultado:

 

Recuerda que k estaba definida como k = 2π/λ, por ello es sencillo encontrar la posición de los nodos como relación entre la posición y la longitud de la onda estacionaria:

x = 0, λ/2, λ, 3λ/2,...

que escrito de forma general indica que los nodos se encuentran situados en las posiciones  , por lo que la distancia entre dos nodos consecutivos será siempre media longitud de onda ().

Análogamente puede encontrarse la expresión para los vientres, que resultan encontrarse en las posiciones 

En el caso particular de una cuerda como la de una guitarra, que está fija en ambos extremos, estos deberán ser siempre nodos. Si la longitud de la cuerda es L, y deberá cumplirse que  , por lo que las longitudes de onda permitidas (λ_n) serán las dadas por la ecuación:

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación  , expresada en unidades del Sistema Internacional.

EJERCICIO

a) Halla la amplitud, longitud de onda y velocidad de fase de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha vibración

La ecuación corresponde a una onda estacionaria () que como se ha visto resulta de la superposición de dos ondas idénticas desplazándose en sentidos opuestos ( e ).

Identificando ambas ecuaciones se observa que:



 y aplicando la relación entre ambos