6.8 EL EFECTO DOPPLER

6.8 EL EFECTO DOPPLER

El efecto Doppler es un fenómeno físico donde un aparente cambio de frecuencia de onda es presentado por una fuente de sonido con respecto a su observador cuando esa misma fuente se encuentra en movimiento. Este fenómeno lleva el nombre de su descubridor, Christian Andreas Doppler, un matemático y físico austríaco que presentó sus primeras teorías sobre el asunto en 1842.
El sonido

Para poder entender de qué se trata el efecto Doppler primero debemos entender algunos principios básicos de la física y el sonido.


Primero que nada debemos aclarar que el sonido viaja en ondas, estas ondas a su vez viajan a una velocidad bastante rápida, más exactamente a 331,5 m/s. Es claro que esta velocidad varía dependiendo del medio por el que viaja, así por ejemplo la velocidad antes mencionada corresponde al sonido que viaja a través del aire.

Seguramente alguna vez hayas visto una onda de sonido, tal vez en la televisión o en algún programa de manipulación de sonido. Bueno, estas ondas que crecen y decrecen son realmente lo que nuestro oído escucha. Pueden variar y no ser constantes como mostraremos en el ejemplo del efecto Doppler más abajo.




El efecto Doppler
El efecto Doppler no es simplemente funcional al sonido, sino también a otros tipos de ondas, aunque los humanos tan solo podemos ver reflejado el efecto en la realidad cuando se trata de ondas de sonido.

El efecto Doppler es el aparente cambio de frecuencia de una onda producida por el movimiento relativo de la fuente en relación a su observador. Si queremos pensar en un ejemplo de esto es bastante sencillo.

Seguramente más de una vez hayas escuchado la sirena de un coche policía o de una ambulancia pasar frente a ti. Cuando el sonido se encuentra a mucha distancia y comienza a acercarse es sumamente agudo hasta que llega a nosotros.




Cuando se encuentra muy cerca nuestro el sonido se hace distinto, lo escuchamos como si el coche estuviera parado. Luego cuando continúa su viaje y se va alejando lo que escuchamos es un sonido mucho más grave.

Esto ocurre ya que las ondas aparentan comenzar a juntarse al mismo tiempo que el coche se dirige hacia una dirección. La imagen de abajo explica mejor esta idea sobre las ondas y la velocidad de los coches.


Como pueden ver en la imagen, el micrófono capta el sonido producido por el coche verde con una onda menos intensa y menos aguda, lo mismo que pasaría si nosotros estuviésemos en el lugar del micrófono. Por otro lado, el coche anaranjado que va avanzando presenta ondas con mucha más intensidad y por tanto también mucho más agudas.

6.7 PULSOS

6.7 PULSOS

Un pulso es una perturbación de corta duración generada en el estado natural de un punto de un medio material que se transmite por dicho medio. Podemos producir un pulso, por ejemplo, realizando una rápida sacudida en el extremo de un muelle o de una cuerda, lanzando una piedra al agua de un estanque, dando un golpe a una mesa o produciendo una detonación en el aire.
Tanto los pulsos como las ondas son cosas que se producen muy a menudo en la naturaleza. El origen de las ondas se encuentra en las vibraciones, en donde un cambio repentino en la energía de un sistema o de un objeto es resultado de un cambio inmediato en la energía de los alrededores. Esta energía se disipa a través del medio con el objetivo de lograr un equilibrio mediante un proceso de forma repetitiva, lo cual es conocido como oscilación y las oscilaciones

En física se conoce como pulso a una variación repentina en una cantidad que por lo general suele ser constante. Este término se refiere a un cambio de posición en un medio, visto y descrito como la amplitud, debido a la vibración. Una serie de tales variaciones repentinas también se le conoce como pulso.conducen a las ondas. En esta experiencia las vibraciones tienen lugar en la misma dirección en la que se propagan y decimos que se trata de un pulso de onda longitudinal.

Un ejemplo de onda longitudinal es el sonido. Se pueden producir pulsos sonoros golpeando un objeto sólido. El objeto vibra y empuja al aire que lo rodea produciéndose una compresión que se traslada a una velocidad de unos 340 m/s. La propagación es longitudinal porque el aire es una disolución gaseosa sin fuerzas de cohesión entre sus moléculas. Por ello, la perturbación únicamente se propaga en la dirección en la que unas moléculas "chocan" con sus vecinas.

6.6 INTERFERENCIAS DE ONDAS

6.6 INTERFERENCIAS DE ONDAS

Interferencia del Sonido

Dos ondas que viajan en el mismo medio se interfieren entre sí. Si sus amplitudes se suman, la interferencia se dice que es una interferencia constructiva, e interferencia destructiva si están "fuera de fase" y se restan. Los patrones de interferencia constructiva y destructiva pueden dar lugar a los "puntos muertos" y "puntos vivos" de la acústica de un auditorio.

La interferencia de las ondas incidente y reflejada es esencial para que se produzcan las ondas estacionarias resonantes.

La interferencia del sonido, tiene consecuencias de largo alcance debido a la producción de "batidos"entre dos frecuencias que se interfieren unas con otras.


INTERFERENCIA CON DIAPASÓN 




Si se golpea un diapasón y se gira cerca del oído, se notará que los sonidos alternan entre fuertes y suaves a medida que se gira. En determinados ángulos de giro, la interferencia se hace constructiva y en otros destructiva.


Cada diente del diapasón produce una onda de presión que se desplaza hacia el exterior a la velocidad del sonido. Una parte de la onda tiene una presión mayor que la presión atmosférica, otra inferior. En algunos ángulos, las áreas de alta presión de las dos ondas coinciden y se oye un sonido más fuerte. En otros ángulos, la parte de alta presión de una onda coincide con la parte de baja presión de la otra.



Fase

Si se hace girar la masa de una varilla con masa a velocidad constante y se ilumina la trayectoria circular resultante desde el borde, su sombra trazará un movimiento armónico simple. Un período completo de la onda sinusoidal se corresponden con un círculo completo o 360 grados. La idea de la fase sigue este paralelismo, relacionando cualquier fracción de un período, con la fracción correspondiente del círculo en grados.


Interferencia y Fase

6.5 RESONANCIA

6.5 RESONANCIA

En aplicaciones de sonido, una frecuencia de resonancia es una frecuencia natural de vibración determinada por los parámetros físicos del objeto vibrante. Esta misma idea básica de frecuencias naturales determinadas físicamente, se aplica a través de la física, a la mecánica, la electricidad y el magnetismo, e incluso a todo el ámbito de la física moderna. Algunas de las implicaciones de las frecuencias de resonancia son las siguientes:
Facilidad de Excitación a Resonancia

Es fácil conseguir que un objeto vibre a sus frecuencias de resonancia, pero difícil de conseguir que vibre en otras frecuencias. Un columpio de niño de un parque es un ejemplo de péndulo, un sistema resonante con solo una frecuencia de resonancia. Con un suave empujón al columpio cada vez, vuelve de nuevo hacia uno, se puede continuamente reconstruir la amplitud de la oscilación. Si se trata de forzarlo para una oscilación de doble frecuencia, se encontrará que es muy dificil e ¡incluso puede perder los dientes en el proceso!Pero ¿se puede columpiar en alguna otra frecuencia?
Columpiar un niño en un columpio del parque es un trabajo fácil porque está uno ayudado por su frecuencia natural.

Captación de las Frecuencias Resonantes

Un objeto que vibra tomará sus frecuencias de resonancia de una excitación compleja y vibrará a esas frecuencias fundamentalmente, por "filtrar" otras frecuencias presentes en la excitación.
Si se acaba de golpear a una masa en un resorte con un palo, el movimiento inicial puede ser complejo, pero la respuesta principal será balancearse arriba y abajo a su frecuencia natural. El golpe con el palo es una excitación compleja con muchos componentes de frecuencias (como podría ser demostrado por análisis de Fourier), pero el muelle escoge su frecuencia natural y responde a ella.

6.4 ONDAS SONORAS ESTACIONARIAS Y MODOS NORMALES

6.4 ONDAS SONORAS ESTACIONARIAS Y MODOS NORMALES  

Las ondas estacionarias son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles. Las ondas estacionarias no son ondas viajeras sino que diferentes maneras de vibración. Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio.

Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia, amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una línea con una diferencia de fase de media longitud de onda. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). 

La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Tiene puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o anti nodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos anti-nodos consecutivos es media longitud de onda.

Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana, ... determinados, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble, triple, ...). Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje.(x o y).

6.3 INTENSIDAD DEL SONIDO

6.3 Intensidad del Sonido

La intensidad del sonido se define como la potencia acústica por unidad de área. El contexto habitual es la medición de intensidad de sonido en el aire en el lugar del oyente. Las unidades básicas son vatios/m2 o vatios/cm2. Muchas mediciones de la intensidad de sonido se hacen con relación a la intensidad del umbral de audición  estándar I0 :

El enfoque más común para la medición de la intensidad del sonido es el uso de la escala de decibelios:

Los decibelios miden la relación de una intensidad dada I con la intensidad del umbral de audición, de modo que este umbral toma el valor 0 decibelios (0 dB). Para evaluar el volumen del sonido, como distintivo de una medida de intensidad objetiva, se debe ponderar con la sensibilidad del oído.

Presión del Sonido

Dado que el sonido audible consiste en ondas de presión, una de las formas de cuantificar el sonido es establecer la cantidad de variación de la presión causada por el sonido, con relación a la presión atmosférica. Debido a la gran sensibilidad de la audición humana, el umbral de audición corresponde a una variación de presión de menos de una mil millonésima parte de la presión atmosférica.

El umbral de audición estándar se puede expresar en términos de presión, y la intensidad de sonido en decibelios se puede expresar en términos de la presión acústica:

La presión P aquí debe entenderse como la amplitud de la onda de presión. La energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. El factor de 20 proviene del hecho de que el logaritmo del cuadrado de una cantidad es igual a 2 x el logaritmo de la cantidad. Puesto que los micrófonos comunes tales como los micrófonos dinámicos, producen un voltaje que es proporcional a la presión del sonido, entonces los cambios en la intensidad del sonido incidente sobre el micrófono pueden calcularse a partir de donde V1 y V2 son las amplitudes de voltajes medidos.

6.2 RAPIDEZ DE LAS ONDAS SONORAS

6.2 RAPIDEZ DE LAS ONDAS SONORAS

La rapidez de las ondas en un medio depende de la compresibilidad y de la densidad del medio; si éste es un líquido o un gas y tiene un módulo volumétrico B y densidad "p", la rapidez de ls ondas sonoras en dicho medio es de: velocidad es igual a la raíz cuadrada de el módulo volumétrico "B" entre la densidad.

Para ondas longitudinales en una barra sólida de material la rapidez depende del módulo de Young "Y" y de la densidad "p".

La rapidez del sonido depende del tipo de material en el que se encuentra. En la siguiente tabla se muestra la rapidez del sonido en distintos tipos de materiales. 

Gases

Medio	Velocidad (m/s)
Hidrógeno	1286
Helio	972
Aire (20 °C)	343
Aire (0°C)	331
Oxígeno	31

Líquidos a 25 °C

Medio	Velocidad (m/s)
Glicerol	1904
Agua de mar	1533
Agua	1493
Mercurio	1450
Queroseno	1324
Alcohol metílico	1143
Tetracloruro de mercurio	926

Sólidos

Medio	Velocidad (m/s)
Vidrio Pyrex	5640
Hierro	5950
Aluminio	6420
Latón	4700
Cobre	5010
Oro	3240
Lucita	2680
Plomo	1960
caucho	1600

6.1 ONDAS SONORAS

UNIDAD 6: SONIDO Y EL OÍDO

6.1 ONDAS SONORAS 

El sonido se crea cuando una perturbación producida en un punto determinado del medio material provoca un cambio en la presión o un desplazamiento de las partículas de un medio elástico, y dicha perturbación puede ser detectada por el oído humano o por determinados instrumentos. Para que dicha perturbación pueda ser detectada por el oído humano, la composición espectral de dicha onda debe caer dentro de la gama del espectro que puede ser procesada por el oído humano. Se considera que el rango de frecuencias que detecta el oído está compuesto entre 20 y 20000 Hz, dependiendo ese rango de cada persona.

Se puede considerar que una onda sonora es una fluctuación de presión que se propaga a través de cualquier medio que es suficientemente elástico para permitir que sus moléculas se acerquen y se separen unas de otras. Un ejemplo intuitivo de cómo se transmite una onda sonora lo tenemos en las ondas que se generan cuando tiramos una piedra en un estanque de aguas tranquilas: las partículas del medio no se desplazan en la dirección del movimiento, las fluctuaciones de presión, en cambio, sí lo hacen.

Las ondas acústicas son ondas longitudinales ya que el desplazamiento de las partículas respecto de su posición de equilibrio se produce en el mismo sentido de propagación de la perturbación. UN ejemplo que puede ilustrar la naturaleza longitudinal de las ondas acústicas es el de un recipiente con un émbolo. Si en la base del recipiente existe una abertura, cuando empujamos el émbolo hacia adentro, en el interior del recipiente se producirá un aumento de presión que se transmitirá a través de la abertura a la parte exterior contigua, provocando un desplazamiento de las moléculas. Si ahora el émbolo se retira hacia arriba se produce una disminución de la presión que crea una especie de vacío que hace que las moléculas sufran un desplazamiento en sentido contrario, ya su vez esta presión negativa se transmita al exterior a través de la abertura. Tanto las variaciones de presión como el desplazamiento de las moléculas se producirán en el mismo sentido que el movimiento del émbolo, dando lugar a una onda longitudinal.

Las magnitudes que describen la onda sonora son:

• La presión instantánea p

• La densidad instantánea

• El desplazamiento de las partículas respecto de su posición de equilibrio D

Definimos la Presión acústica como:
Definiremos también la densidad dinámica como:

El estudio de las ondas sonoras se realizará a través del estudio de las ondas armónicas (Th. Fourier). Una onda de desplazamientos armónica se podrá expresar como donde es la amplitud de movimiento; k el número de onda; v la velocidad de desplazamiento de la onda y x la dirección de propagación.

FÍSICA I 

UNIVERSIDAD DE  GUADALAJARA 

CENTRO UNIVERSITARIO DE LA COSTA

                                          UNIDAD 5: Ondas Mecánicas

• Tipos de ondas mecánicas
• Ondas periódicas
• Descripción matemática de una onda
• Rapidez de una onda transversal
• Energía del movimiento ondulatorio
• Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición
• Ondas estacionarias en una cuerda
• Modos normales de una cuerda
• Fuerza de fricción. Dinámica del movimiento circular
• Fuerzas fundamentales de la naturaleza. Aplicaciones.

                                             UNIDAD 6: Sonido y el Oído 

• Ondas sonoras
• Rapidez de las ondas sonoras
• Intensidad del sonido
• Ondas sonoras estacionarias y modos normales
• Resonancia
• Interferencias de ondas.
• Pulsos.
• El efecto Doppler.

5.1 TIPOS DE ONDAS

5.1 TIPOS DE ONDAS

La figura 1 muestra tres variedades de ondas mecánicas. En la figura 1A, el medio es una cuerda tensada. Si imprimimos al extremo izquierdo una ligera sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo de la cuerda. Secciones sucesivas de la cuerda repiten el movimiento que dimos al extremo, pero en instantes posteriores sucesivos. Puesto que los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal.


En la figura 1B, el medio es un líquido o un gas en un tubo con una pared rígida en el extremo derecho y un pistón móvil en el izquierdo. Si imprimimos al pistón un solo movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplazamiento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo del medio. En esta ocasión, los movimientos de las partículas del medio son hacia adelante y hacia atrás en la misma línea en que viaja la onda, y decimos que se trata de una onda longitudinal.


En la figura 1C, el medio es líquido en un canal, como agua en una zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la izquierda hacia adelante y hacia atrás una vez, una perturbación de onda viajará a lo largo del canal. En este caso, los desplazamientos del agua tienen componentes tanto longitudinal como transversal. 

Figura 1. Tres formas de producir una onda que se mueve hacia la derecha.

a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y regresa, produciendo una onda transversal. 

b) El pistón se mueve a la derecha, comprimiendo el líquido o gas, y regresa, produciendo una onda longitudinal. 

c) La tabla se mueve a la derecha y regresa, produciendo una combinación de ondas longitudinales y transversales.

Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. En el caso de la cuerda estirada, es el estado en que el sistema está en reposo, estirada en línea recta. Para el fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está en reposo con presión uniforme; y para el agua en una zanja, es una superficie lisa y plana. En cada caso, el movimiento ondulatorio es una perturbación del estado de equilibrio que viaja de una región del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a volver el sistema a su posición de equilibrio cuando se le desplaza, así como la gravedad tiende a llevar un péndulo hacia su posición de equilibrio vertical cuando se le desplaza.

La velocidad de propagación de una onda mecánica es la velocidad a la que avanza la perturbación por el medio. En general depende de las propiedades mecánicas del mismo por lo que es constante si estas no varían.

Se puede comprobar que, en general, la velocidad de propagación puede expresarse en la forma:

v=propiedad elásticapropiedad inercial−−−−−−−−−−−−−−−√

5.9 FUERZAS DE FRICCIÓN. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

5.9 FUERZAS DE FRICCIÓN. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Fuerza de fricción.

Siempre que un objeto se mueve sobre una superficie o en un medio viscoso, hay una resistencia al movimiento debido a la interacción del objeto con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de fricción. Las fuerzas de fricción son importantes en la vida cotidiana. Nos permiten caminar y correr. Toda fuerza de fricción se opone a la dirección del movimiento relativo.

Empíricamente se ha establecido que la fuerza de fricción cinética es proporcional a la fuerza normal N, siendo k la constante de proporcionalidad, esto es, f = N.

Dinámica del movimiento circular

Según la primera ley de Newton, para que una partícula se mueva según una trayectoria no rectilínea es necesario que actúe una fuerza sobre ella, ya que si no permanecería en movimiento en línea recta indefinidamente. Esta fuerza, si tiene una componente perpendicular al movimiento, provoca que el cuerpo describa una trayectoria curva, aun cuando su velocidad lineal pueda ser constante. En el caso que la fuerza tenga un módulo constante y sea siempre perpendicular al movimiento, se tiene un movimiento denominado circular uniforme (m.c.u.). Este tipo de movimiento, por su simplicidad, nos servirá como base del estudio del movimiento de los planetas y satélites que va a desarrollarse en esta Unidad.

En un movimiento de este tipo, su trayectoria es circular y, según se vio, existe una relación sencilla entre la componente normal de la aceleración, la velocidad lineal de la partícula y el radio de la trayectoria. En todo movimiento la aceleración puede descomponerse en dos componentes:


1) Aceleración normal (an) responsable del cambio de dirección (si an = 0 la trayectoria es una recta)


2) Aceleración tangencial (at) responsable del cambio en la velocidad lineal con la que se mueve el objeto.

5.8 MODOS NORMALES DE UNA CUERDA

5.8 MODOS NORMALES DE UNA CUERDA

Se llaman nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=np siendo n =1, 2, 3, ....(recuerda que k=2p/l), o bien, x = l/2, l, 3 l/2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2.

Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L= l/2.

Para el segundo modo de vibración -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l.

Para el tercer modo, L = 3l/2, y así sucesivamente.

Podemos proceder al revés y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibración.

Se producirán nodos para una cuerda de longitud "L" cuando la l de la onda tenga los valores dados por la fórmula:

Como la frecuencia y la longitud de onda están realcionadas con la velocidad de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relación l =vT, o bien l =v/u.

En una cuerda de longitud "L" obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la fórmula al sustituir "n" por 1. También se pueden obtener los armónicos de las frecuencias dadas por la fórmula anterior para n =1,2,3

La velocidad de propagacion v de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda. 

La fórmula que indica que frecuencia debe tener una onda que rebota entre los extremos de una cuerda de longitud L y masa m atada por los extremos y tensada con una fuerza T es:

Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración (frecuencia fundamental o primer armónico), se pueden encontrar rápidamente los restantes armónicos:

la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental,

la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente...u 1 Modo fundamental.

u n =nu 1 Armónicos n=2, 3, 4....

5.7 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

5.7 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA 

Un caso particular de la superposición de ondas que viste en el tema anterior y de importancia fundamental en el estudio de las ondas sonoras, por su aplicación en la música es el de las ondas estacionarias. Estas ondas aparecen en todos los instrumentos de cuerda: guitarras, pianos, violines, etc...

Estas ondas se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio, como puedes observar en la animación que acompaña estas líneas. En ella dos ondas, una azul y otra roja, se superponen para dar lugar a la onda estacionaria dibujada en negro.

Observa que una característica de las ondas estacionarias es que hay puntos que no vibran (nodos) -indicados como puntos rojos en la animación-, que permanecen estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren.

El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos, siendo la distancia que separa dos nodos o dos vientres consecutivos igual a la mitad de la longitud de onda (λ/2) de las ondas que interfieren.

En el caso particular de las ondas estacionarias en cuerdas, puede considerarse que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda. Así, para una cuerda determinada, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental o primer armónico, y las demás son múltiplos enteros de ella y se denominan armónicos (segundo, tercero, ... y así sucesivamente). En la imagen puedes ver el armónico fundamental y sucesivos para una onda de frecuencia unidad.

Resulta sencillo encontrar la expresión matemática que describe una onda estacionaria:

Ya se ha dicho que resulta de la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en sentidos opuestos. Por simplicidad supondremos que no presentan fase inicial. Las ecuaciones de estas ondas son:

Su superposición da lugar a una nueva onda de ecuación

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica , la expresión anterior da como resultado:

 

Recuerda que k estaba definida como k = 2π/λ, por ello es sencillo encontrar la posición de los nodos como relación entre la posición y la longitud de la onda estacionaria:

x = 0, λ/2, λ, 3λ/2,...

que escrito de forma general indica que los nodos se encuentran situados en las posiciones  , por lo que la distancia entre dos nodos consecutivos será siempre media longitud de onda ().

Análogamente puede encontrarse la expresión para los vientres, que resultan encontrarse en las posiciones 

En el caso particular de una cuerda como la de una guitarra, que está fija en ambos extremos, estos deberán ser siempre nodos. Si la longitud de la cuerda es L, y deberá cumplirse que  , por lo que las longitudes de onda permitidas (λ_n) serán las dadas por la ecuación:

Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación  , expresada en unidades del Sistema Internacional.

EJERCICIO

a) Halla la amplitud, longitud de onda y velocidad de fase de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha vibración

La ecuación corresponde a una onda estacionaria () que como se ha visto resulta de la superposición de dos ondas idénticas desplazándose en sentidos opuestos ( e ).

Identificando ambas ecuaciones se observa que:



 y aplicando la relación entre ambos